968. Орлов А.И. О развитии асимптотических методов статистического контроля // Материалы республиканской научно-практической конференции "Статистика и ее применения - 2015". Под редакцией профессора А.А. Абдушукурова. - Ташкент: НУУз, 2015. - С. 30-40.

О РАЗВИТИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ 
СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ

Александр Иванович Орлов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, МФТИ, ЦНИИмаш, 
Москва, Россия, prof-orlov@mail.ru  

Отличительные черты новой парадигмы статистических методов обсуждались в докладе [1]. Новым теоретическим результатам посвящена работа [2]. Рассмотрим актуальные вопросы применения статистических методов в важной практической области - при управлении качеством промышленной продукции.
Разделы, посвященные статистическим методам обеспечения качества, включены в учебники по эконометрике [3], теории принятия решений [4, 5], статистическим методам анализа данных [6]. Наши новые научные результаты опубликованы в статьях [7 - 9].

1. О развитии теории статистического контроля
О начальных шагах теории статистического контроля рассказывает Б.В. Гнеденко в [10]. В главе 2 этой книги есть параграф 6 «Статистический контроль качества продукции» (с.47-50). По словам Б.В. Гнеденко:
«Первым шагом, относящимся к этому кругу идей, по-видимому, следует считать одну из задач, рассмотренных Т. Симпсоном в книге «Природа и законы случая» (1740). Вот формулировка этой задачи: имеется данное число вещей различного сорта – n1 вещей первого, n2 – второго, ... Наудачу берутся m вещей. Найти вероятность того, что при этому будет взято m1 вещей первого сорта, m2 вещей второго и т.д. В настоящее время эта задача не представляет труда для студентов, приступающих к изучению основ теории вероятностей. В ту пору она была предметом серьезного научного трактата».
Спустя сто с небольшим лет к этой задаче, но уже исходя из запросов практики, обратился М.В. Остроградский (1801 – 1862) в работе 1846 г. «Об одном вопросе, касающемся вероятностей» [11]. Вот что он писал (см. также [12]):
«В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно, но мы не знаем, сколько из них какого цвета. Мы извлекаем некоторое количество шаров. Подсчитав, сколько из них белых и сколько черных, снова кладем в сосуд. Требуется определить вероятность того, что общее число белых не выходит из наперед заданных пределов. Или, лучше сказать, мы ищем зависимость между этой вероятностью и пределами, о которых идет речь. 
Чтобы понять важность этого вопроса, представим себя на месте того, кто должен получить большое число предметов, причем должны выполняться некоторые условия, и кто, чтобы проверить эти условия, должен на каждый предмет потратить некоторое время. Перед армейскими поставщиками часто стоят такого рода задачи. Для них шары, содержащиеся в сосуде, представляют получаемые предметы, белые, например – предметы приемлемые, как удовлетворяющие определенным условиям, а черные – неприемлемые. (...)
Таким образом, если бы вопрос, который мы перед собой поставили, был решен, поставщик мог бы воспользоваться этим, чтобы свести приблизительно к двадцатой доле часто очень утомительную работу, как, например, проверку большого количества мешков муки или штук сукна». [11, с.215].
Мы видим, что М.В. Остроградский четко описывает потребности практики (а именно, возникающие при проверке качества больших партий мешков муки или штук сукна), для удовлетворения которых он провел свое исследование. В то же время Симпсон остался в кругу идей теории вероятностей XVIII в. Поэтому М.В. Остроградского следует считать основоположником теории статистического контроля (не только в нашей стране, но и во всем мире).
Итак, уже около 170 лет статистические методы применяются для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. Основополагающая работа выполнена в 1846 г. действительным членом Петербургской академии наук М.В. Остроградским, который рассматривал задачу статистического контроля партий мешков муки или штук сукна армейскими поставщиками. Специалистам хорошо известна эта «точка отсчета». Например, в монографии проф. Я.Б Шора [13] раздел 4 «Методы статистического контроля качества» начинается со ссылки на статью М.В. Остроградского 1846 г. 
По словам Б.В. Гнеденко [10, с.49], «из отечественных ученых заслуживают быть отмеченными А.Н. Колмогоров (1903 – 1987), В.И. Романовский (1879 – 1954), С.Х. Сираждинов (1921 – 1988), Ю.К. Беляев (р. 1932) и др.». Отметим большое значение работ В.И. Романовского – основателя современной математической школы в Узбекистане, к которой, относятся, в частности, С.Х. Сираждинов и А.А. Абдушукуров, доклад которого [14] содержит анализ работ В.И. Романовского. Так, в статье 1932 г. «Вопросы статистического учета» [15] он обсуждает, в частности, «применение статистики к технике и индустрии: к контролю производства, к испытанию качества продуктов массового производства и т.д. Он призывает заняться этой отраслью статистики, ввести курс в экономических вузах» [14, с.7]. На Всесоюзном совещании по математической статистике (осень 1948 г., Ташкент) В.И. Романовский выступил с докладом «О статистических методах контроля производства и качества продукции» [16]. В списке научных трудов В.И. Романовского, приведенным в его научной биографии [17], указано 12 публикаций по статистическим методам контроля качества (№№ 95, 110, 161, 169, 171, 177, 187, 188, 189, 193, 205, 206 в [17, с.143-152]).
Со времен М.В. Остроградского в России в статистическом контроле качества было сделано многое, особенно в области теории. Прорывные результаты получены в работе А.Н. Колмогорова [18] (см.также [19]). Так, монографии Ю.К. Беляева [20] и Я.П. Лумельского [21] можно смело назвать классическими. Был выпущен и длинный ряд практических руководств, в основном переводных.
Узбекская математическая школа заслужила всемирное признание. Именно поэтому в Ташкенте в 1986 г. был проведен Первый Всемирный Конгресс Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли [22 - 24]. Много важных результатов было получено в области статистических методов контроля производства и качества продукции. Так, в списке научных трудов С.Х. Сираждинова, приведенным в юбилейной статье [25], указано 7 публикаций по статистическим методам контроля качества (№№ 64, 69, 71, 73, 74, 78, 90 в [25, с. 239-242]). Значительное место в рассматриваемой области занимает математическая теория надежности [26]. При проведении испытаний на надежность необходимо обрабатывать неполные наблюдения, а для этого требуется развитие асимптотической теории оценивания для неклассических моделей [27]. В эту теорию входят методы оценивания функции распределения в моделях случайного цензурирования [28]. Представители узбекской математической школы получили ценные научные результаты в области анализа цензурированных данных. Эти результаты продвигают применения вероятностно-статистических методов в теории и практике надежности сложных технических систем, а также в других предметных областях.
Предельные теоремы теории вероятностей и математической статистики позволили получить ряд асимптотических результатов в задачах статистического контроля качества, предложить основанные на них практические рекомендации [8]. Однако необходимо выяснить, насколько интересующие специалистов характеристики отличаются от предельных при конечных объемах выборок. Рассмотрим два примера, в одном из которых ответ на поставленный вопрос получен, а в другом - пока нет.
2. Синтез плана контроля на основе предела среднего выходного уровня дефектности
Рассмотрим статистический приемочный контроль с разбраковкой. Забракованная по результатам контроля выборки партия продукции подвергается сплошному контролю. Все дефектные изделия обнаруживаются и либо исправляются на месте, либо извлекаются из партии. В результате в партии остаются только годные изделия. Такая процедура и называется «контроль с разбраковкой». Таким образом, «контроль с разбраковкой» – это статистический контроль, дополненный правилом: забракованная партия подвергается сплошному контролю.
При среднем входном уровне дефектности р и применении контроля с разбраковкой с вероятностью f(p) партия принимается (и уровень дефектности в ней по-прежнему равен р) и с вероятностью (1 – f(p)) бракуется и подвергается сплошному контролю, в результате чего к потребителю поступают только годные изделия. Следовательно, по формуле полной вероятности средний выходной уровень дефектности равен
f1(p)= pf(p) +0(1 – f(p)) = pf(p).
Средний выходной уровень дефектности f1(p) равен 0 при р = 0 и р = 1, положителен на интервале (0;1), а потому достигает на нем максимума (по теореме математического анализа о том, что непрерывная функция на отрезке достигает максимума), который в теории статистического контроля называется пределом среднего выходного уровня дефектности (сокращенно ПСВУД):
.
Пример. Рассмотрим план (n, 0). Для него, как известно, f(p) = (1 – p)n, следовательно, f1(p) = p (1 – p)n. Чтобы найти ПСВУД, надо приравнять 0 производную среднего выходного уровня дефектности по среднему входному уровню дефектности:

В полученном уравнении корень р = 1 соответствует минимуму, а не максимуму. Поскольку непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума, то максимум будет при 

Следовательно, 
			(1)
По выражению (1) могут быть проведены конкретные расчеты. Однако оно довольно громоздко. Его можно упростить, используя один из замечательных пределов, полученных в курсе математического анализа, а именно:
	(2)
Сравнивая соотношения (1) и (2), видим, что 
.
Первая скобка равна 1/n, а вторая согласно соотношению (2) приближается к 0,368 при росте объема выборки. Поэтому получаем простую асимптотическую формулу 
.
Изучим, исходя из (2), применимость различных функций для аппроксимации выражения

Магистрант МФТИ Константин Виноградов предложил несколько вариантов функций, аппроксимирующих f(n), и исследовал ошибки при конкретных значениях n. Изучены следующие 5 функций:
.
Последняя функция представляют собой формулу, которая получается из f(n) при замене выражения в скобках значением второго замечательного предела. Остальные 4 функции являются этой же функцией с числителем, округленным соответственно до 1 - 4 знаков после запятой.
Для исследования функций К. Виноградов использовал язык R (The R Foundation for Statistical Computing).
На рис. 1 показаны зависимость исходной функции от аргумента, а также графики для аппроксимирующих функций.
•	черная линия – f(n), 
•	красная линия – f1(n), 
•	синяя линия – f2(n), f3(n), f4(n), f5(n) (на графике эти функции неразличимы).
"На глаз" видно, что черная и синяя линии сливаются при объеме выборки 12 - 13. Для получения более точных выводов изучим относительную погрешность.
								Рис. 1. Графики функций

Будем рассчитывать относительную погрешность аппроксимации по формуле:

На рис. 2 приведены зависимости относительных погрешностей от значений аргумента объемы выборки n:
•	красная линия – ,
•	синяя линия – 
•	зеленая линия – , ,  (на графике эти функции неразличимы).
Далее в табл. 1 приведены результаты оценки относительной ошибки при аппроксимации искомой функции f(n) выбранным набором 5 функций. 
							Рис.2. Относительные погрешности

В ячейках табл. 1 указаны объемы выборок n, начиная с которых погрешности аппроксимации , округленные до целых процентов, составляют 0 - 5%.
Таким образом, мы получили, что функция f1(n) вообще не подходит для расчетов с высокой точностью (), а f2(n) не может обеспечить ошибку менее 1% при конечном значении аргумента. В результате, для достижения точности аппроксимации в 95% (т.е. погрешности ) при n = 10 достаточно использовать в расчетах f3(n) = 0,368/n , а при  достаточно f2(n) = 0,37/n .
Следовательно, полученная в [8] на основе предельных теорем рекомендация об использовании f3(n) = 0,368/n обоснована при . При меньших объемах выборки ее применять нецелесообразно (при столь малых объемах выборки надо использовать f(n)). Впрочем, на практике объем выборки менее 10 встречается редко.

Таблица 1. Объемы выборок n, обеспечивающие заданную погрешность .
(%)	Объемы выборок n для аппроксимирующих функций fi(n)	
	f1(n)	f2(n)	f3(n)	f4(n)	f5(n)	
5%		11	10	10	10	
4%		13	12	12	12	
3%		18	15	15	15	
2%		27	21	20	20	
1%		55	35	34	34	
0%			107	102	100	

3. Синтез плана контроля на основе приемочного и браковочного уровней дефектности
Пусть Х - число дефектных единиц продукции в выборке объема n. Распределение Х является биномиальным. Пусть используется одноступенчатый план контроля (n, c). Оперативная характеристика этого плана имеет вид

При безграничном росте объемы выборки n по теореме Бернулли выборочная доля X/n дефектных единиц продукции приближается к вероятности дефектности p (сходимость по вероятности). Значит, если с/n окажется заметно больше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда приниматься, а если с/n окажется заметно меньше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда отклоняться. Ситуация будет нетривиальной только тогда, когда величины с/n и р близки друг к другу. 
Хотя оперативная характеристика рассчитывается с помощью сумм биномиальных вероятностей, анализировать эти суммы затруднительно. Поэтому целесообразно найти для нее приближение с помощью теоремы Муавра – Лапласа. Имеем цепочку тождественных преобразований:

Справа стоит именно то выражение, которое участвует в (интегральной) теореме Муавра - Лапласа. Воспользовавшись равномерной сходимостью в этой теореме, можно записать, что 

где  - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. 
Последняя формула позволяет указать асимптотические выражения для приемочного pпр и браковочного рбр уровней дефектности, исходя из риска поставщика  и риска потребителя . Действительно, согласно определениям этих понятий
	(3)
откуда с помощью элементарных преобразований получаем, что
	(4)
Так как величины с/n и р близки друг к другу, то при переходе от формулы (3) к формуле (4) в подкоренных выражениях приемочный и браковочный уровни дефектности заменены на c/n (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).
	Поскольку при практическом применении статистического приемочного контроля принимают  = 0,05,  = 0,10, то в предыдущие формулы следует подставить  = 1,64 и  = - 1,28. Итак, итоговые формулы для приемочного и браковочного уровней дефектности имеют вид

Перейдем к задаче синтеза плана статистического контроля. Пусть заданы приемочный и браковочный уровни дефектности. Требуется построить одноступенчатый план, имеющий эти характеристики. Из формул (3) следует, в частности, что
	(4)
Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что

Следовательно, оценка n* необходимого объема выборки имеет вид
.
Для стандартных значений рисков  = 0,05,  = 0,10 имеем:
 	(5)
С помощью уравнений (4) нетрудно найти оценку с* приемочного числа, заменив неизвестный объем выборки на его оценку n*. Будем использовать оценку

Для стандартного значения  = 0,10 имеем
		(6)
Итак, по формуле (5) можно рассчитать оценку объема выборки, затем по формуле (6) найти оценку приемочного числа. Необходимо отметить, что результаты расчетов по рассматриваемым асимптотическим формулам практически никогда не дают целые числа, поэтому необходима корректировка (округление до целого) полученных результатов.
Полученные формулы позволяют решить сформулированную выше задачу - по заданным приемочному и браковочному уровням дефектности подобрать такой одноступенчатый план контроля, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам
f(pпp) > 1 - ,  f(pбр) < .
Поэтому при практической работе корректировка асимптотических результатов должна быть направлена на выполнение указанных неравенств. 
Пример. Пусть pпp = 0,02, pбр = 0,09. Тогда по формуле (5) оценка объема выборки равна 

Полученное число не является натуральным, поэтому вполне естественно откорректировать объем выборки до ближайшего целого, т.е. до n* = 72.
Оценку приемочного числа находим по формуле (6):

Полученное число не является целым, поэтому в качестве приемочного числа надо взять ближайшее целое, т.е. до 3.  
Если объем выборки округлить до 73, то аналогично получим

При округлении снова получаем 3.
С помощью первого из уравнений (12) можно построить оценку с* на основе приемочного уровня дефектности:
.
Подставив конкретные значения, получим практически ту же оценку, что и раньше:
.
Итак, в результате асимптотических расчетов найден одноступенчатый план (72, 3).
Необходимо изучения точности приведенных рекомендаций при синтезе планов на основе приемочного и браковочного уровней дефектности, полученных на основе на основе предельных теорем. Во-первых, при каких условиях полученные по формулам (5) и (6) значения мало отличаются от точных значений (см., например, американский стандарт MIL STD 105 D и ГОСТ 18242-72). Во-вторых, по каким правилам проводить округления полученных по формулам (5) и (6) чисел до целых значений.
В области статистических методов управления качеством есть много других нерешенных проблем. 

Литература
1. Орлов А.И. Новая парадигма математической статистики // Материалы республиканской научно-практической конференции «Статистика и её применения – 2012». Под редакцией профессора А.А. Абдушукурова. – Ташкент: НУУз, 2012. – С.21-36.
2. Орлов А.И. Средние величины и законы больших чисел в топологических пространствах с показателями различия // Статистика и её применения. Материалы республиканской научно-практической конференции (Ташкент, 17-18 октября 2013 г.). – Ташкент: Изд-во «Университет», 2013. – С.30-37.
3. Орлов А.И. Эконометрика. 3-е изд. — М.: Экзамен, 2004. — 576 с.
4. Орлов А.И. Теория принятия решений. — М.: Экзамен, 2006. — 574 с.
5. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: теория принятия решений. — М.: КноРус, 2011. — 568 с.
6. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : в 3 ч. Ч.3. Статистические методы анализа данных. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 624 с.
7. Орлов А.И. Всегда ли нужен контроль качества продукции у поставщика? // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 96. С. 709-724.
8. Орлов А.И. Асимптотические методы статистического контроля // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 102. С. 1–31.
9. Орлов А.И. Метод проверки гипотез по совокупности малых выборок и его применение в теории статистического контроля // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 104. С. 38–52.
10. Гнеденко Б.В. Очерк по истории теории вероятностей. – М.: Едиториал УРСС, 2001. – 88 с.
11. Остроградский М.В. Об одном вопросе, касающемся вероятностей / Полное собрание трудов. Т.3. – Киев: Издательство Академии наук УССР, 1961. – С.215 – 237.
12. Гнеденко Б.В. Михаил Васильевич Остроградский // Квант. 1982. № 10. С. 5 – 10.
13. Шор Я.Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. – М.: Советское радио, 1962. – 552 с.
14. Абдушукуров А.А. О кафедре «Теория вероятностей и математическая статистика» (к 75 летию кафедры и 95 летию НУУз) // Статистика и её применения. Материалы республиканской научно-практической конференции (Ташкент, 17-18 октября 2013 г.). – Ташкент: Изд-во «Университет», 2013. – С. 5 – 18. 
15. Романовский В.И. Выступление по докладу С.М. Гуревича "Вопросы социалистического учета" // Вопросы социалистического учета. Ташкент, 1932. С. 30-32.
16. Романовский В.И. О статистических методах контроля производства и качества продукции // Тезисы докладов и сообщений на Всесоюзном совещании по математической статистике, 27 сентября - 2 октября 1948 г. Ташкент, 1948. С.34.
17. Боголюбов А.Н., Матвиевская Г.П. Всеволод Иванович Романовский (1879 - 1954). - М.: Наука, 1997. - 157 с.
18. Колмогоров А.Н. Статистический приемочный контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю. – Л.: Знание, 1951. – 24 с.
19. Орлов А.И. Вероятностно-статистические методы в работах А.Н. Колмогорова // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. № 98. С. 96-104. 
20. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля. – М.: Наука, 1975. – 407 с.
21. Лумельский Я.П. Статистические оценки результатов контроля качества. – М.: Изд-во стандартов, 1979. – 200 с.
22. Орлов А.И. Первый Всемирный конгресс Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1987. Т.53. № 3. С. 90-91.
23. Орлов А.И. Всемирный Конгресс Общества им. Бернулли // Стандарты и качество. 1987. № 5. С. 105-105.
24. Орлов А.И. Первый Всемирный конгресс Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли // Надежность и контроль качества. 1987. № 6. С. 54-59.
25. Азларов Т.А., Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В., Сарымсаков Т.А., Статулявичус В.А. Сагды Хасанович Сираждинов (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. № 6 (222). С. 237–242.
26. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука, 1965. - 524 с.
27. Абдушукуров А.А. Статистика неполных наблюдений. Асимптотическая теория оценивания для неклассических моделей. - Ташкент. "Университет", 2009. -267 с.
28. Абдушукуров А.А., Мурадов Р.С. Об оценках функции распределения в моделях случайного цензурирования // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т.80. № 11. С.62-67.